La Proporción Áurea

Este libro es, junto con “Nuestra hora final” de Martín Rees y “Una breve historia de casi todo” de Bill Bryson, una de las mejores obras de divulgación científica que he leído. Aborda un tema interesante, la Proporción Áurea (especialmente interesante si además se ama el mundo del arte), y en el capítulo final del libro esboza de una forma un tanto superficial el tema de la que (según el artículo dedicado al autor en la Wiquipedia en el momento en que escribo esto) será su próxima obra: la naturaleza de las matemáticas y su relación con el mundo “real”. Se titulará al parecer “Is God a Mathematician?”, tomado de la famosa pregunta del científico británico Sir James Jean. Es ésta una materia bastante sorprendente que incide desde una perspectiva propia en el análisis del “matrix” que nos envuelve, o del sentido del todo, por decirlo de otro modo.

Su autor, Mario Livio, cuyo nombre suena a ilustre patricio romano aunque en realidad sea un nombre rumano (con “u”), es en estos momentos el director de la División de Ciencias del Hubble Space Telescope Science Institute y, aunque actualmente reside en Baltimore, tiene la nacionalidad israelí, país al que tuvo que emigrar junto a su familia a la edad de cinco años por razones políticas. Aunque como científico sus intereses se centran básicamente en la cosmología y en la astrofísica, sus estudios de matemáticas y física jamás han sido incompatibles con un hondo interés por el mundo del arte. Esta obra es el resultado exitoso de la combinación de sus conocimientos en estos campos que en principio pueden parecer bastante distanciados.

Pero vayamos por el comienzo. El autor desea hablarnos de la Proporción Áurea o phi, una proporción geométrica o un número irracional cuyo valor aproximado es el siguiente: 1,6180339887... Para su definición Mario Livio recurre a la que proporcionó hace más de 2000 años el propio Euclides, quien la denominó división de una línea en su “media y extrema razón”: “Se dice que un segmento está dividido en media y extrema razón cuando el segmento total es a la parte mayor como la parte mayor es a la menor”, o dicho de otro modo, es la relación que guardan dos segmentos “a” y “b” si entre el total y el segmento mayor hay la misma relación que entre el segmento mayor y el segmento menor. Antiguamente su símbolo era la letra griega “tau”, si bien en la actualidad se representa usando la letra “F” o “phi”, escogida también del alfabeto griego, por ser el carácter inicial del nombre del gran escultor Fidias. Este detalle ya nos pone sobre aviso acerca de una de sus particularidades: su recurrente relación con el mundo del arte y la suposición (hipotética) de que “proporciona un canon universal de belleza ideal” (p. 225). El autor intenta en este libro, entre otras cosas, ahondar en la cuestión de si verdaderamente “la gente siente una atracción inconsciente hacia la Proporción Áurea y las obras de arte o las figuras geométricas basadas en ella.” Su conclusión es claramente negativa.

En cualquier caso, “Proporción Áurea” no es su única denominación, siendo conocida también como Sección Áurea, Número Áureo, Razón Dorada o incluso Proporción Divina. No debemos olvidarnos tampoco de otros miembros del “grupo áureo”, que consisten básicamente en determinadas figuras geométricas, proporciones o secuencias que la contienen o están pautadas por ella, como por ejemplo:

• El Rectángulo Áureo, que es aquel en el cual las longitudes de los lados mayores y menores están en proporción áurea entre sí.

• El Triángulo Áureo, un triángulo isósceles en el cual los dos lados más largos tienen la misma longitud y en el que la proporción de esta longitud a la del tercer lado más pequeño es igual al número áureo.

• La Espiral Áurea, una espiral logarítmica cuyo factor de crecimiento está en relación con el número áureo y se hace más amplio por un factor de phi por cada cuarto de vuelta que hace.

• El Ángulo Áureo, que es el menor de los dos ángulos que se crean cuando se divide la circunferencia C de un círculo en dos secciones (A y B) de manera que C=A+B y C/A=A/B, es decir, cuando ambos están en Proporción Áurea, en dos arcos tales que la proporción de la longitud del arco mayor con respecto al menor es la misma proporción de toda la circunferencia con respecto al arco mayor.

Y habría que añadir la Secuencia Áurea (p. 237), el Árbol Áureo (p. 246), Gnomos Áureos (p. 91), etc.

Mención especial merece otro miembro de la familia, la sucesión de números Fibonacci, que es la sucesión infinita de números naturales donde el primer elemento es 0, el segundo es 1 y cada elemento restante es igual a la suma de los dos anteriores (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...). Cada uno de los números de esta sucesión es conocido como número Fibonacci, en honor de Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci, el matemático que la expuso por primera vez en Occidente, si bien ya aparece mencionada en India algunos siglos antes, aunque sin haber tenido repercusión en el conocimiento general de las matemáticas (p. 220).

Aunque yo divida mentalmente la obra en dos partes diferentes, el autor considera que son tres las cuestiones relacionadas con la Proporción Áurea que desea tratar. Y lo anuncia desde el comienzo del libro:

“Un examen detallado de los ejemplos que nos proporciona la naturaleza y el arte revela cuestiones a tres niveles distintos, cada uno de mayor profundidad que el anterior. En primer lugar nos encontramos con las preguntas inmediatas: a) ¿Son reales toda las formas que adopta phi en la naturaleza y en las artes citadas en la literatura o simplemente representan conceptos erróneos e interpretaciones precipitadas? b) ¿Podemos explicar el aspecto de phi (si es real) en estas u otras circunstancias? En segundo lugar, si definimos “belleza” como aparece, por ejemplo, en el Webster's Unabridged Dictionary, es decir, “la cualidad que hace que un objeto resulte placentero o satisfactorio de un modo determinado”, nos surge la siguiente pregunta: ¿existe un componente estético en las matemáticas? Y si es así, ¿cuál es la esencia de ese componente? Esta es una pregunta importante porque como dijo en una ocasión el estadounidense Richard Buckminster Fuller (1895-1983), arquitecto, matemático e ingeniero: “Cuando trabajo con un problema, jamás pienso en la belleza. Sólo pienso en cómo resolverlo. Pero cuando he terminado, si la solución no es bella, sé que está mal.” Para terminar, la pregunta más intrigante: ¿Qué provoca que las matemáticas sean tan poderosas y ubicuas? ¿Qué razón existe para que las matemáticas y las constantes numéricas como la Proporción Áurea tengan un papel central en materias tan diferentes como las teorías fundamentales del universo o el mercado de valores? ¿Existen las matemáticas independientemente de los humanos, quienes las han descubierto/ inventado y formulado sus principios? ¿Es matemática la propia naturaleza del universo? Esta última pregunta puede reformularse utilizando un conocido aforismo del físico británico Sir James Jeans (1847-1946): ¿Es Dios un matemático?” (p. 17-18).

Queda claro, pues, que uno de los principales temas de estudio del libro es la relación entre la Proporción Áurea y la creación artística y la belleza en general, y la supuesta condición de la Proporción Áurea como “canon estético más perfecto”, capaz, según se ha afirmado con frecuencia, de ocasionar en los seres humanos una atracción universal innata. Comenzando por el arte egipcio y griego y llegando hasta nuestros días, Mario Livio repasa las conexiones de la Proporción Áurea con la creación artística, intentado detectar su posible uso y, en su caso, valorando que parte le correspondería en el mérito estético global de la obra. El autor mantiene a lo largo del libro un punto de vista más bien escéptico: no le parece probado que realmente la Proporción Áurea esté presente en algunas famosas obras de arte en las que normalmente se la ha querido ver, y generalmente duda acerca de la importancia que en su caso pudiera tener en el valor estético global. No obstante, detectar su uso consciente, especialmente en el arte europeo de los siglos XIX y XX, es importante para una correcta comprensión de la obra.

El autor articula cronológica y temáticamente el repaso que lleva a cabo acerca de la relación entre la Proporción Áurea y la creación artística. Partiendo de una presentación del concepto y definición de Proporción Áurea, y de ciertas ideas generales relacionadas con ella, continúa con un examen acerca de su aparición, evolución y presencia a lo largo de los siglos en el seno de culturas diferentes. Para empezar, el autor cree que se puede razonablemente concluir que ni babilonios (p. 54-55) ni egipcios (p. 72) llegaron a descubrir la Proporción Áurea. Por ese motivo, y tras un análisis cuidadoso de sus dimensiones, considera dudoso que se utilizara en el diseño de alguna de las pirámides de Egipto a pesar de lo que habitualmente se afirma.

El autor piensa que el auténtico descubrimiento en Occidente de la Proporción Áurea debe ser atribuido a los griegos y especula acerca de que su hallazgo podría haberse producido de la mano de la escuela pitagórica y de sus investigaciones en torno al pentágono y al pentagrama:

“El pentágono regular está muy relacionado con el pentagrama (la figura plana posee cinco lados y cinco ángulos idénticos). Al conectar con diagonales todos los vértices del pentágono se obtiene un pentagrama. A su vez, las diagonales forman en el centro un pentágono de menor tamaño, y las diagonales de este pentágono forman un pentagrama y un pentágono aún menor. Esta progresión puede continuar hasta el infinito, creando pentagramas y pentágonos su cada vez más pequeños. La sorprendente característica de estas figuras es que si se mira a los segmentos en línea en orden de longitud decreciente se puede comprobar con facilidad, utilizando geometría elemental, que todo segmento es menor que el anterior por un factor precisamente igual a la Proporción Áurea. [...] Y lo que es aún más importante, podemos basarnos en el hecho de que el proceso de creación de una serie de pentágonos y pentagramas, unos incluidos dentro de otros, puede continuar indefinidamente hasta tamaños cada vez más pequeños para demostrar que tanto la diagonal como el lado del pentagrama son inconmensurables, es decir, que la proporción de sus longitudes (equivalentes a phi) no puede expresarse como la proporción de dos números enteros. Esto significa que la diagonal y el lado del pentágono no pueden tener una medida común, de tal modo que la diagonal es un múltiplo entero de esa medida y el lado es también un múltiplo entero de la misma medida. [...] Por tanto, esta prueba demuestra que phi es un número irracional.

Varios investigadores [...] proponen que los pitagóricos fueron los primeros en descubrir la Proporción Áurea y la inconmensurabilidad. Estos historiadores de las matemáticas creían que la preocupación pitagórica por el pentagrama y el pentágono, junto al conocimiento sobre geometría a mediados del siglo V a. C., posibilitó que los pitagóricos, y en particular Hipaso de Metaponto, descubrieran la Proporción Áurea y, mediante ésta, la inconmensurabilidad.” (p. 43-44)

A pesar de esto, Livio duda de que el Partenón esté basado en la Proporción Áurea, incluso admitiendo que los griegos ya la conocían en el momento de su construcción. Son muy abundantes los libros que lo afirman y de hecho en todos los artículos de la Wiquipedia que he consultado acerca de la Proporción Áurea, en varios idiomas (he visto la versión española, catalana, inglesa, francesa y alemana) se afirma que el gran templo griego está construido siguiendo conscientemente dicha proporción y se acompaña en los cinco casos de una foto del Partenón que presuntamente ilustra como su fachada se ajusta a ella en su diseño. De acuerdo con Mario Livio, esa afirmación “carece del apoyo de las dimensiones reales del Partenón” (p. 86), tratándose de una aproximación más que de una auténtica coincidencia, ya que para obtener un auténtico rectángulo áureo en su fachada se debe incluir en el cálculo algunos de los escalones que la preceden y omitir algunos bordes que la exceden. Por lo tanto, “no hay ninguna certeza de ello”.

Estas y otras muchas afirmaciones a favor de la presencia ubicua de la Proporción Áurea proceden en parte de los famosos trabajos del príncipe Matila Ghyka en sus libros Esthétique des Proportions (1927) y Le nombre d'or (1931), que todavía hoy (como podemos ver en la obra del propio Mario Livio) suscitan controversia.

Los ejemplos, reales o presuntos, sobre la utilización de la Proporción Áurea en las obras de arte son muy abundantes. Mario Livio menciona bastantes de estos supuestos en el campo de la pintura, arquitectura, música e incluso literatura. El autor repasa varios de estos casos, entre ellos algunas obras de Leonardo da Vinci, como su San Jerónimo (c.1480, Pinacoteca Vaticana) (otro de los casos señalados por Ghyka). 

Que Leonardo da Vinci conocía perfectamente la Proporción Áurea está fuera de toda duda (ilustró en 1509 un libro de Luca Pacioli dedicado a su estudio y titulado “De Divina Proportione”) pero lo que no es seguro es que la utilizara él en sus cuadros o que, en el caso de encontrarse en algunos de ellos, esa sea la razón de la atracción estética que ejercen sobre nosotros. A pesar de las afirmaciones acerca de la utilización de la Proporción Áurea en el “San Jerónimo” o en el rostro de "La Gioconda", Mario Livio, teniendo en consideración la forma un tanto arbitraria y algo equívoca en que se eligen los límites de las figuras geométricas áureas que supuestamente contienen, duda de ello (p. 182, 186). 

Por ejemplo, en el caso del San Jerónimo, el brazo derecho queda en su mayor parte fuera del supuesto Rectángulo Áureo que encierra la mayor parte de la masa corporal del santo. De la misma manera, considera que las proporciones auténticas de obras como la Madonna o Maestà de Ognissanti de Giotto o la Madonna Rucellai de Duccio están más cerca de una proporción simple que de una auténtica Proporción Áurea.

Mario Livio no le menciona, pero parece ser que mi admirado Claudio de Lorena sí que utilizaba la Proporción Áurea en sus obras, como puede apreciarse en algunos dibujos preparatorio de varios de sus cuadros en los cuales la retícula utilizada nos ayuda a apreciar como distribuía algunos de sus elementos en función de ella.

Diferente es el caso de muchas obras de arte de los siglos XIX y XX, en las que su utilización es segura y consciente, como parte de su creciente mitificación. Así, aunque no es uno de los casos que menciona Mario Livio, no hay que sorprenderse de encontrarla en algunas obras de Alma-Tadema (1836-1912), como en “Las rosas de Heliogábalo” (1888), cuyas dimensiones son 213 cm de anchura por 132 cm de altura y que por tanto están en Proporción Áurea prácticamente exacta (1'613, muy cerca del auténtico valor de phi (1'618)).

La relación existente entre la Proporción Áurea y movimientos como el Cubismo fue tan grande que una de sus exposiciones en París (y el colectivo de artistas que participó) llevó el nombre de "Sectión d' Or"(1912) como forma de sugerir el nexo entre arte, ciencia y filosofía, si bien las obras que se exhibieron no la utilizaban (p. 190). No obstante está fuera de duda su uso por algunos artistas encuadrados en este movimiento como Juan Gris, o el escultor Jacques Lipchitz.

Si varios artistas llevaron de forma consciente la Proporción Áurea a los campos de la pintura o la escultura, otros, como Le Corbusier con su “Modulador” (o “Modulor”) lo hicieron en el de la arquitectura (p. 192). En el campo de la música el autor cree que hay razones para rechazar o dudar razonablemente de su utilización en algunas composiciones donde se la ha querido encontrar, aunque se tenga constancia de que algunos célebres compositores, como Bela Bartók o Debussy, sí que la utilizaron en algunas de sus piezas. De Debussy hay incluso algún indicio escrito que podría indicar que sí que la utilizó, al parecer, en composiciones como “Jardins sous la Pluie” o “Reflets dans l'eau” (p. 212-214).



 

Como resumen acerca del uso de la Proporción Áurea en el campo de la música, el autor dice lo siguiente:

“La conclusión de este breve recorrido por el mundo de la música es que las afirmaciones sobre la utilización de la Proporción Áurea por parte de ciertos compositores, a menudo saltan demasiado deprisa de números generados por una simple cuenta (compases, notas, etc.) a la interpretación. Sin embargo, existen pocas dudas de que en el siglo XX en especial se produjo un interés renovado en el uso de los números en la música. Como parte de este renacimiento pitagórico, la Proporción Áurea empezó a aparecer de forma prominente en las obras de varios compositores.” (p. 216)

También hay una relación indirecta entre el arte de la música y la Proporción Áurea en su presencia en algunos instrumentos musicales, entre ellos el violín: “El violín es un instrumento en el que aparece a menudo la Proporción Áurea. Generalmente, la caja de resonancia del violín contiene 12 o más arcos de curvatura (lo que provoca la curvatura del violín) en cada lado. El arco plano de la base a menudo está centrado en la Sección Áurea que marca el centro de la línea.” (p 207)

Mario Livio no incluyó la fotografía en su análisis de la relación entre la Proporción Áurea y el mundo del arte, pero podría haberlo hecho con cierto fundamento. A modo de ejemplo, Cartier-Bresson reconoce haberla usado de forma intuitiva en la composición de sus fotografías, aunque parece estar haciendo mención de la llamada "Composición Áurea" más que de alguna variante de la Proporción Áurea.

La literatura también cuenta en este análisis, en una vertiente doble (a veces, simultánea): obras literarias dedicadas a este tema (que las hay, aunque sea en cierto modo anecdótico) y aquellas que en su composición pudieran haberla tenido en cuenta de alguna manera, por ejemplo en su estructura o ritmo cuando se trata de poesía, ya que muchas construcciones poéticas están basadas en números. Además de recordar que la primera mención genuina de la secuencia Fibonacci, aunque no tuviera repercusiones en el campo de las matemáticas, se produjo en la poesía sánscrita (p. 220), en diversas ocasiones se ha especulado sobre la posibilidad del uso de la Proporción Áurea en el ritmo poético de algunas obras más o menos conocidas. Así, se ha llegado a afirmar que en la “Eneida” de Virgilio está presente, opinión que no comparte en absoluto Mario Livio.

Del examen de la relación histórica entre la Proporción Áurea y el arte, Mario Livio extrae varias conclusiones, siendo la más importante la de negar que la Proporción Áurea constituya “un canon universal de belleza ideal” (p. 225), concepto derivado probablemente de los pitagóricos. 

Diversos estudios han intentado determinar si los seres humanos sienten alguna clase de atracción inconsciente hacia la Proporción Áurea, y por lo tanto hacia las obras de arte o las figuras geométricas que la contienen o que se basan en ella. La conclusión de dichos estudios es claramente negativa (p. 199-204), a pesar de lo cual basta observar un poco a nuestro alrededor para poder detectar fácilmente que la Proporción Áurea es escogida con mucha frecuencia como base del diseño de numeroso objetos de la vida cotidiana y que el tamaño y la proporción de algunos de ellos, como los de las tarjetas de crétito o los DNIs, ya se han convertido en estándares universales. Uno de los motivos de la consideración de la Proporción Áurea como canon de belleza universal tiene que ver con su presunta ubicuidad en numerosas obras de arte, hecho que ha alimentado artificialmente su prestigio. El autor opina que en ocasiones se la ha visto donde no está y que esto podría en parte deberse a errores frecuentes en su cálculo, como el que explica en la página 222.

Livio explica que no hay que confundir la Proporción Áurea con la proporción simple, y cita como ejemplos varias obras de arte italiano del siglo XIII que habitualmente se han considerado obras que utilizan la Proporción Áurea, aunquese en realidad están más cerca de la proporción simple. Dice: “Aunque los tres números están muy próximos a la Proporción Áurea, dos de ellos, de hecho, están más cerca de la proporción simple 1,6 que del número irracional phi. Este hecho podría indicar (si es que indica algo) que los artistas siguieron las indicaciones del Vitruvio y optaron por una proporción simple, es decir, una proporción de dos números enteros en lugar de la Proporción Áurea.” (p. 181)

A modo de resumen dice: “Todos los intentos por desmontar la Proporción Áurea (real o falsa) en diversas obras de arte, piezas musicales o poesía dependen del convencimiento de que existe un canon de la belleza ideal y que puede ser llevado a la práctica. La historia ha demostrado, sin embargo, que los artistas que han producido obras de valor imperecedero son precisamente aquellos que se han apartado de estos preceptos académicos. A pesar de la importancia de la Proporción Áurea para muchas áreas de las matemáticas, las ciencias y los fenómenos naturales, deberíamos, en mi modesta opinión, abandonar su aplicación como un modelo fijo de la estética, tanto en la forma humana como en los modelos de las bellas artes.” (p. 223)

La presencia de la Proporción Áurea en el mundo del arte es extraordinariamente interesante, aunque haya diversos puntos de polémica. Sin embargo, su presencia en el mundo natural es abundante y bastante menos sujeta a polémica, porque deja de lado cualquier juicio acerca de intencionalidades o inconsciencias. Se hace presente en el mundo natural de múltiples maneras, frecuentemente unida a la sucesión Fibonacci y muy especialmente de la espiral logarítmica que va de la mano con la Proporción Áurea (p. 34). Su presencia puede rastrearse en los sitios menos esperados, de la concha de los nautilus a la forma de las galaxias, de la configuración de las altas presiones atmosféricas a los cuernos de las cabras, por sólo mencionar algunos. 

Sin la Proporción Áurea y la secuencia de números de Fibonacci no podría explicarse correctamente la filotaxis de las plantas, que frecuentemente la siguen en su crecimiento y en la disposición de sus hojas, pétalos (rosas, dalias) o semillas (piñas de pino, girasoles). Precisamente, Alan Turing dedicó parte de los años finales de su vida al estudio de la morfogénesis, y especialmente a su conexión con la secuencia Fibonacci. Su muerte prematura le impidió culminar sus trabajos, que permanecieron sin publicar hasta la década de los 90 y que incluso ahora son mal conocidos, aunque es posible hacerse una idea de en qué consistían gracias a algunas páginas web.

Una de las áreas de la Naturaleza donde la Proporción Áurea ofrece resultados más interesantes es la de los fractales (objetos semi-geométricos cuya estructura básica se repite a diferentes escalas). La propiedad de autosimilitud de la Secuencia Áurea (tan visualmente evidente en la expresión del número áureo como fracciones continuas (p. 96)) le sirve al autor para introducir su concepto y su relación con la Proporción Áurea, muy especialmente en el caso de las ramificaciones (árboles, sistemas de drenaje, sistema circulatorio de la sangre, etc.). El factor de reducción que ocasiona que las ramificaciones comiencen a solaparse resulta ser exactamente 1 partido por la Proporción Áurea (1/phi= 0, 618...), lo que da origen a los llamados Árboles Áureos, y podría incluso ocurrir que el Universo entero siguiera este modelo si fuera correcta la teoría inflacionaria propuesta por Alan Guth (p. 246-249).

Además de en la geometría fractal, la Proporción Áurea interviene en otras geometrías naturales. En alguna ocasión, como ha ocurrido otras veces en el campo de las matemáticas, la teoría se adelantó al caso práctico. Así ocurrió con las llamadas “baldosas de Penrose”, que desarrollan una distribución basada en la Proporción Áurea. La sorpresa consiste en que tales baldosas, que en principio se trataban de un ejercicio de matemáticas recreativas, siguen una distribución que se ha detectado posteriormente en la estructura de los llamados “micro-cristales” o cuasi-cristales, cuya estructura geométrica está determinada también por phi. Así pues, una especulación teórica matemática acaba correspondiendose después con algo detectable en el mundo natural. El autor reflexiona sobre esto al final de la obra. Lo curioso de este caso, por si no fuera bastante, es que, al parecer, recientes descubrimientos han permitido conocer que las “baldosas de Penrose” cuentan con precedentes más lejanos de lo que él pensaba.

Pero ni con esto se agota el tema de la Proporción Áurea y su ubicuidad. Más recientemente se la ha empezado a encontrar en áreas insospechadas, por ejemplo en el ciclo de las fluctuaciones bursátiles, o en el azar, que al parecer no es tan al azar como podría parecer a primera vista. Acerca de las oscilaciones bursátiles, Livio parte de la teoría de Ralph Nelson Elliott (1871-1948) que establece una relación entre ellas y la secuencia de Fibonacci, y dice: “La idea de Elliott era relativamente simple. Aseguraba que las variaciones del mercado se pueden caracterizar por un modelo fundamental que consiste en cinco ondas durante una tendencia ascendente (“optimista”) y en tres ondas durante una tendencia descendente (“pesimista”). Nótese que 5, 3, 8 (el número total de ondas) son números Fibonacci. Más aún, Elliott afirmaba que un estudio de la fluctuación a escalas de tiempo cada vez menores revelaba que el mismo modelo se repetía, correspondiendo a números Fibonacci más altos, todos los números de las subondas constituyentes. Identificando el 144 como “el mayor número de valor práctico”, el desglose de un ciclo de mercado completo puede ser así. A una tendencia ascendente que conste de cinco ondas mayores, 21 intermedias y 89 menores, le sucede una fase generalmente descendente con tres mayores, 13 intermedias y 55 menores.

Ciertos libros de reciente publicación que pretenden aplicar las ideas generales de Elliott a las estrategias reales de tendencias van aún más allá. Utilizan la Proporción Áurea para calcular los puntos extremos del máximo y el mínimo que puede esperarse (aunque no necesariamente alcanzar) en los mercados de precios al final de las tendencias ascendentes y decrecientes. Hasta los algoritmos más sofisticados incluyen una espiral logarítmica trazada en lo alto de las fluctuaciones diarias del mercado, en un intento de representar la relación entre el precio y el tiempo. Todos estos esfuerzos por predecir, asumen que tanto la secuencia de Fibonacci como la Proporción Áurea tienen las claves de la psicología de masas.” (p. 252-253)

Así mismo, se ha encontrado, a partir de los trabajos del informático Divakar Viswanath, una relación sorprendente e inesperada entre la Proporción Áurea y las matemáticas de los sistemas desordenados:

“La propiedad que define la secuencia de Fibonacci, la de que cada número es la suma de los dos anteriores, se obtuvo mediante la descripción nada realista de la cría de conejos. No había nada en esta descripción que hiciera pensar que esta secuencia imaginaria de conejos aparecería en tantos fenómenos naturales y culturales. Y menos aún, sin embargo, que sugiriera que la experimentación con las propiedades básicas de la secuencia fuera una puerta al entendimiento de las matemáticas de sistemas desordenados. Pero esto fue precisamente lo que ocurrió en 1999. El científico informático Divakar Viswanath, por entonces miembro posdoctoral del Mathematical Scienes Research Institute de Berkeley, California, fue lo suficientemente valiente como para preguntar “¿qué pasaría si?” lo que le llevó inesperadamente al descubrimiento de un nuevo número especial: 1,13198824... [...]

Lo que Viswanath descubrió fue bien curioso. Si se comienza una secuencia de números como la de Fibonacci pero en lugar de sumar el término anterior para obtener el siguiente se le suma o se le resta en función de lanzamientos al aire de una moneda, en lugar de llegar a resultados al azar se acaban obteniendo unos resultados bien predecibles. En cualquiera de las secuencias que Viswanath obtenía, si ignoraba los signos negativos, la secuencia aumentaba en una tasa predecible, y el número que hacía 100 de la serie (¡en un 100% de los casos!) era “siempre cercano a la potencia 100ª del número 1'13198824...” (p. 255). Por lo visto, el azar ya no es lo que era.

Las páginas finales del último capítulo (titulado “¿Es Dios un matemático?”, el mismo título que el autor parece ser que dará a su próximo libro) parecen constituir algo diferenciado del resto de la obra. Es el colofón, apenas las 9 páginas finales, y en ellas el autor reflexiona sobre la naturaleza de las matemáticas y examina las opiniones mayoritarias de los científicos sobre ella. La interpretación filosófica de las matemáticas se ha dividido tradicionalmente en dos grupos: la “visión platónica” (y su derivada, la “visión platónica modificada”) y la que el autor denomina “la de la evolución” (habitualmente llamada "formalista"). En otro lugar del libro ya habla de Platón para decir que en su tiempo fue capaz de intuir algunos de los principios básicos de la química moderna (p. 79) y de la física de partículas (p. 81). Pero vuelve sobre él a la hora de definir la llamada visión platónica de las matemáticas, de acuerdo con la cual las matemáticas “son universales y atemporales, y su existencia es un hecho objetivo independiente de nosotros los humanos”. La variante llamada “punto de vista platónico modificado” sugiere “que las leyes de la física se expresan como ecuaciones matemáticas, la estructura del universo es un fractal, las galaxias se disponen a sí mismas en espirales logarítmicas, etc., porque las matemáticas son el lenguaje del universo. De forma específica, todavía se considera que los objetos matemáticos existen objetivamente, de forma independiente de nuestro conocimiento de ellos, pero en lugar de colocar a las matemáticas en algún plano abstracto místico, al menos alguna parte de ellas se sitúan en el cosmos real. [...] Realmente, Dios es un matemático” (p. 270). Y añade:

“A los partidarios de la “versión platónica modificada” de las matemáticas les gusta señalar que, a lo largo de los siglos, las matemáticas han producido (o “descubierto”) numerosos objetos de matemáticas puras sin tener en mente ninguna aplicación para las mismas. Décadas más tarde, se descubrió que dichas ideas y modelos matemáticos daban soluciones a problemas de física. [...] También hubo muchos casos de retroalimentación entre la física y las matemáticas, donde un fenómeno físico inspiraba un modelo matemático que más tarde demostraba que era la explicación de un fenómeno físico totalmente diferente.” (p. 272)

El autor expone los argumentos de la otra postura, de acuerdo con la cual las matemáticas no pueden existir fuera de nuestro cerebro, “los objetos matemáticos carecen de realidad objetiva, son imaginarios” (p. 273):

“Aunque se base en la fisiología y la psicología, la visión de las matemáticas como una invención humana sin una realidad intrínseca todavía tiene que responder a dos preguntas misteriosas: ¿Por qué son tan poderosas las matemáticas para explicar el universo? ¿Cómo es posible que aun los productos más puros de las matemáticas, a la larga encajen con los fenómenos físicos como un guante?

La respuesta basada en la “intervención humana” contestaría tomando como modelo la biología: la evolución y la selección natural. Aquí la idea es que se ha conseguido el progreso en la comprensión del universo y la formulación de las leyes matemáticas que describen los fenómenos dentro de él, gracias a un proceso de evolución largo y tortuoso. Nuestro modelo actual de universo es el resultado de una larga evolución que ha sufrido muchos falsos principios y cambios de sentido. La selección natural ha arrancado los modelos matemáticos que no encajaban con las observaciones y los experimentos, y ha dejado tan sólo los que han tenido éxito. Según esta visión, todas las “teorías” del universo no son más que “modelos” cuyos atributos se determinan solamente por su éxito al encajar con los datos observados y experimentados.” (p. 274)

La postura personal del autor no se identifica con ninguna de estas dos versiones, ya que considera ambas parcialmente insatisfactorias:

“Afirmar que las matemáticas no son más que una pura invención humana y que pueden explicar la naturaleza “sólo” por la selección natural y la evolución, ignora algunos hechos importantes en la naturaleza de las matemáticas y en la historia de los modelos teoréticos del universo. Primero, aunque las reglas matemáticas (por ejemplo, los axiomas de la geometría o de una teoría dada) sean, efectivamente, creaciones de la mente humana, una vez que esas normas se especifican, perdemos nuestra libertad. La definición de la Proporción Áurea surgió en un principio de los axiomas de la geometría euclidiana y la definición de la secuencia de Fibonacci de los axiomas de la teoría numérica. Pero el hecho de que la proporción de números Fibonacci sucesivos converja en la Proporción Áurea fue “impuesto”: los humanos no pudimos elegir. Por tanto, los objetos matemáticos, aunque sean imaginarios, poseen propiedades reales. En segundo lugar, la explicación del irrazonable poder de las matemáticas no puede basarse tan sólo en la evolución en un sentido restringido. Por ejemplo, cuando Newton propuso su teoría de la gravitación, los datos que trataba de explicar eran precisos para al menos tres figuras significativas. Pero su modelo matemático de la fuerza entre dos masas cualesquiera del universo logró conseguir la increíble precisión de más de una parte entre un millón. De ahí que este modelo en particular no fuera impuesto a Newton por las medidas existentes de los movimientos de los planetas, ni que Newton “forzara” un fenómeno natural en un modelo matemático que ya existía. Es más, la selección natural en la interpretación común de ese concepto tampoco encaja, debido a que no se trataba de cinco teorías propuestas que compitieran, para que una ganara. Más bien... ¡Newton era el único que jugaba!

Por otro lado, el modelo platónico modificado se enfrenta a diferentes retos.

En primer lugar, existe el importante tema conceptual de que el modelo platónico modificado no ofrece explicación alguna en lo que al poder de las matemáticas se refiere. La cuestión simplemente se transforma en una creencia en el apuntalamiento matemático del mundo físico. Simplemente se asume que las matemáticas son la contrapartida simbólica del universo. Roger Penrose, el cual, como ya he indicado al principio, es un ferviente partidario del mundo platónico de las formas matemáticas, coincide en que “el desconcertante papel subyacente del mundo platónico en el mundo físico” sigue siendo un misterio. [...]

El segundo problema de la versión platónica modificada está relacionada con la cuestión de la universalidad. ¿Hasta qué punto podemos tener la certeza de que las leyes que nuestro universo debe obedecer tienen que presentar ecuaciones matemáticas del tipo que hemos formulado? Hasta muy recientemente, es probable que la mayoría de los físicos de la faz de la Tierra habría argumentado que la historia ha demostrado que las ecuaciones son el único modo en que las leyes de la física pueden expresarse. Sin embargo, puede que esta situación cambie con la publicación del libro “A New Kind of Science” de Stephen Wolfram”. (p. 276-277)

A partir de aquí, Mario Livio expone (y apoya) la propuesta de Wolfram de sustituir las clásicas ecuaciones matemáticas por unos “sencillos programas informáticos”. El libro de Wolfram (que puede incluso ser leído gratuitamente en Internet) aún no se había publicado cuando Livio redactaba el suyo, pero ya lo conocía y eso le llevó a considerar que tendría “implicaciones de largo alcance”: “pueden existir descripciones de la naturaleza muy diferentes de las que tenemos. Las matemáticas tal y como las conocemos, capturan sólo una pequeña parte del enorme espacio de todos los conjuntos de reglas que pueden describir el funcionamiento del cosmos.” 

“Wolfram propone como base para los modelos de la naturaleza, unos sencillos programas informáticos en lugar de las ecuaciones matemáticas que han dominado la ciencia durante más de 300 años. Nos propone que el principal secreto de la naturaleza es el uso de programas sencillos para generar complejidad” (p. 277). Sin embargo, transcurridos tres años desde que Livio redactó su obra, y publicado ya el libro de Wolfram (en 2002), podemos empezar a sospechar que las cosas no han salido tal y como parecían en aquel momento. La teoría de Wolfram ha recibido una serie de críticas, un resumen de las cuales puede ser leído en el artículo que le dedica la Wiquipedia.

Mario Livio sigue reflexionando sobre este tema (“Creo que la explicación se haya en los conceptos tomados prestados de ambos puntos de vista más que en adoptar uno u otro”), pero todo parece un tanto precipitado e incompleto, a pesar de su gran interés. Sin duda, mientras redactaba esta parte de su obra fue consciente de que este tema daba para un libro independiente donde pudiera abordarlo de manera más exhaustiva. La forma un tanto provisional en la que lo hace aquí, junto con la evolución que ha seguido el asunto de la propuesta de Wolfram y las afirmaciones que hace sobre ella en este libro, han conducido finalmente (según el artículo en inglés de la Wiquipedia dedicado al autor), a lo que parece que será la próxima obra de Livio: un ensayo monográfico sobre la naturaleza de las matemáticas que se titulará precisamente “Is God a Mathematician?”. Todo lo dicho aquí no puede ser más que un anticipo parcial. Así pues, esperaremos. Tal vez la naturaleza de las matemáticas tenga algo que decirnos acerca de Dios.